1. 题目描述
给你一个下标从 0 开始且长度为 n 的整数数组 differences ,
它表示一个长度为 n + 1 的 隐藏 数组 相邻 元素之间的 差值 。
更正式的表述为:我们将隐藏数组记作 hidden ,那么 differences[i] = hidden[i + 1] - hidden[i] 。
同时给你两个整数 lower 和 upper ,它
们表示隐藏数组中所有数字的值都在 闭 区间 [lower, upper] 之间。
比方说,differences = [1, -3, 4] ,lower = 1 ,upper = 6 ,
那么隐藏数组是一个长度为 4 且所有值都在 1 和 6 (包含两者)之间的数组。
[3, 4, 1, 5] 和 [4, 5, 2, 6] 都是符合要求的隐藏数组。
[5, 6, 3, 7] 不符合要求,因为它包含大于 6 的元素。
[1, 2, 3, 4] 不符合要求,因为相邻元素的差值不符合给定数据。
请你返回 符合 要求的隐藏数组的数目。如果没有符合要求的隐藏数组,请返回 0 。
示例 1:
输入:differences = [1,-3,4], lower = 1, upper = 6
输出:2
解释:符合要求的隐藏数组为:
- [3, 4, 1, 5]
- [4, 5, 2, 6]
所以返回 2 。
示例 2:
输入:differences = [3,-4,5,1,-2], lower = -4, upper = 5
输出:4
解释:符合要求的隐藏数组为:
- [-3, 0, -4, 1, 2, 0]
- [-2, 1, -3, 2, 3, 1]
- [-1, 2, -2, 3, 4, 2]
- [0, 3, -1, 4, 5, 3]
所以返回 4 。
示例 3:
输入:differences = [4,-7,2], lower = 3, upper = 6
输出:0
解释:没有符合要求的隐藏数组,所以返回 0 。
提示:
n == differences.length
1 <= n <= 105
-105 <= differences[i] <= 105
-105 <= lower <= upper <= 105
2. 分析
核心思路:数学分析+前缀和降维。
由于diff[i] = hidden[i+1] - hidden[i] => hidden[i+1] = diff[i] + hidden[i]
所以只要确定hidden[0] 就能确定所有的hidden元素。
1.朴素暴力
令 lower <= hidden[0] <= upper
检查生成的每一个hidden是否合法, for range hidden, 每次检查时间复杂度O(n)
k = upper-lower
时间复杂度:O(nk)
2.想办法降维(前缀和)
a:数学推导,尽量控制可变,以diff数组来表示hidden[i]元素
hidden[i+1] = diff[i] + hidden[i]
hidden[i] = diff[i-1] + hidden[i-1]
hidden[i-1] = diff[i-2] + hidden[i-2]
..
hidden[1] + hidden[2] + ... + hidden[i+1] = (diff[0] + ... diff[i]) + (hidden[0]+...hidden[i])
合并同类项:
=>
hidden[i+1] - hidden[0] = prefixSumdiff[i]
hidden[i+1] = hidden[0] + prefixSumdiff[i]
由此,我们将hidden[i+1]转为为了一个定量hidden[0]和diff的前缀和数组表达式。
b:由上述推导可知,想要确定hidden的所有元素是否都在lower和upper之间,我们只需要知晓diff前缀和的最小值和最大值,加hidden[0], 判断是否符合条件即可。
3. 代码实现
func numberOfArrays(differences []int, lower int, upper int) int {
n := len(differences)
sum := differences[0]
minPreSumDiff, maxPreSumDiff := sum, sum
for i := 1; i < n; i++ {
sum += differences[i]
minPreSumDiff = min(minPreSumDiff, sum)
maxPreSumDiff = max(maxPreSumDiff, sum)
}
ans := 0
// 枚举hidden0
for hidden0 := lower; hidden0 <= upper; hidden0++ {
// hidden[0]+minPresumDiff <= (hidden[i+1]==hidden[0]+presum[i]) <= hidden[0]+maxPreSumDiff
if hidden0+maxPreSumDiff <= upper && hidden0+minPreSumDiff >= lower {
ans++
}
}
return ans
}
评论